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Exercícios de Matemática com Conjuntos – União – Interseção – Complementos – Diferenças (Ensino médio)
Conjunto é uma coleção de objetos
Nos Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.
Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.
- O conjunto de todos os brasileiros.
- O conjunto de todos os números naturais.
- O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, …, Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
- José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
- 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
- -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, …, z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
- José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
- 1 pertence ao conjunto dos números naturais.
- -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo 
que se lê: “pertence”.
Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
0 
N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e}.
- A={a,e,i,o,u}
- N={1,2,3,4,…}
- M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
- A={x: x é uma vogal}
- N={x: x é um número natural}
- M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: “Ven-óiler”) Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A
B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
A 
B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A 
B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
Propriedades dos conjuntos
- Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
- Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:A A = A e A A = A
- Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:A A B, B A B, A B A, A B B
- Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:A B equivale a A B = B
A B equivale a A B = A - Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C - Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:A B = B A
A B = B A - Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:A Ø = A
- Elemento “nulo” para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.A Ø = Ø
- Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:A U = A
- Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:A (B C ) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C) Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
A-B = {x: x A e x B}
Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavracomplementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Leis de Augustus De Morgan
- O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.(A B)c = Ac Bc
- O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.(A1 A2 … An)c = A1c A2c … Anc
- O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.(A B)c = Ac Bc
- O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.(A1 A2 … An)c = A1c A2c … Anc
Diferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.
A
B = { x: xAB e xAB }
O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
- A=Ø se, e somente se, B=AB.
- O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
- A diferença simétrica é comutativa.
- A diferença simétrica é associativa.
- AA=Ø (conjunto vazio).
- A interseção entre A e BC é distributiva, isto é: A (B C) = (A B) (A C)
- A B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é: A B (A C) (B C)
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Quem rega
Tia Suh RJ, Brazil Amo artesanato, arte e tudo o que é colorido e vivo. Aprendizagem com vida é mais significativa, senão ela passa em preto e branco, perde a graça! Por isso a importância de mostrar aos pequenos o mundo dos livros, da literatura, da arte.
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